设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且z=z(x-2y,x+3y)满足 求z=z(u,v)所满足的方程,并求z(u,v)的一般表达式.

admin2022-09-14  38

问题 设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且z=z(x-2y,x+3y)满足

求z=z(u,v)所满足的方程,并求z(u,v)的一般表达式.

选项

答案[*] 代入原方程,得[*],或写成[*] 接下来求z的一般表达式.将上式写成[*],两边对u积分,v看成常数,得[*], 其中φ1(v)为v的具有连续导数的任意函数.再将上式看成z对v的一阶线性微分方程,代入一阶线性微分方程的通解公式,得 [*] 由于φ1(v)的任意性,记[*],它表示为v的具有二阶连续导数的任意函数,φ(u)为u的具有二阶连续导数的任意函数,于是得到z=z(u,v)的一般表达式为 [*]

解析 利用复合函数求导法依次求导并整理可得函数z=z(u,v)所满足的方程;然后通过对微分方程积分即可.
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