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[2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0
[2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0
admin
2021-01-25
21
问题
[2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0<α<1),数u
α
满足P(X>u
α
)=α.若P(|X|
选项
A、u
α/2
B、u
1-α/2
C、u
(1-α)/2
D、u
1-α
答案
C
解析
解一 因X~N(0,1),由P(X>u
α
)=α得到
P(X>u
α
)=1-P(X≤u
α
)=1-Φ(u
α
)=α,即Φ(u
α
)=1-α.
而α=P(|X|<x)=2Φ(x)-1(见命题3.2.3.2(5)),即
对照Φ(u
α
)=1-α知,上式中的x=u
(1-α)/2
.仅(C)入选.
解二 为判定P(|X|<x)=α中的x等于四个数
中的哪一个,只需将P(|x|<x)=α化成P(X>x)等于上述四数中的某一个即可.事实上,因X~N(0,1),其曲线关于y轴对称,故对任意正实数a,均有
因而
比较P(X>u
α
)=α即知上式中x=u
(1-α)/2
.仅(C)入选.
解三 设X的概率密度函数的图形如图3.2.4.3所示,阴影部分的面积为α,即P(|X|<x)=α,整个面积(总面积)为1,由对称性知阴影部分两边的面积相等,且等T(1-α)/2,即P(X>x)=(1-α)/2=P(X<-x).比较P(X>u
α
)=α,便知x=u
(1-α)/2
.仅(C)入选.
解四 因X服从标准正态分布N(0,1),其曲线关于y轴对称,故有P(X>a)=P(X<-α).于是有
α=P(|X|<x)=1-P(|X|≥x)=1-[P(X≥x)+P(X≤-x)]=1-2P(X≥x).
则P(X≥x)=(1-α)/2.由题设有P(X>u
α
)=α,比较得到x=u
(1-α)/2
.仅(C)入选.
注:3.2.3.2 (5)若X服从标准正态分布,其分布函数为Φ(x),则 P(|x|≤a)=2Φ(a)=1, Φ(0)=0.5.
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考研数学三
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