2. 考研
  3. 设 (I)证明f(x)在x＝0处连续； (Ⅱ)求区间(－1，﹢∞)内的f’(x)，并由此讨论区间(－1，﹢∞)内f(x)的单调性．

设 (I)证明f(x)在x＝0处连续； (Ⅱ)求区间(－1，﹢∞)内的f’(x)，并由此讨论区间(－1，﹢∞)内f(x)的单调性．

admin2019-08-11  59
问题 设
(I)证明f(x)在x＝0处连续；
(Ⅱ)求区间(－1，﹢∞)内的f’(x)，并由此讨论区间(－1，﹢∞)内f(x)的单调性．
选项
答案(I)由题设当x∈(－1，﹢∞)，但x≠0时f(x)＝[*]，所以 [*] 所以f(x)在x＝0处连续． (Ⅱ)[*] 下面求区间(－1，﹢∞)内x≠0处的f’(x)： [*] 为讨论f’(x)的符号，取其分子记为g(x)，即令 g(x)＝(1﹢x)ln2(1﹢x)－x2，有g(0)＝0． g’(x)＝21n(1﹢x)﹢ln2(1﹢x)－2x，有g’(0)＝0， 当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时， [*] 由泰勒公式有当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时，g(x)＝[*]g”(ξ)x2＜0，ξ介于0与x之间． 所以当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时，f’(x)＜0．又由f’(0)＝[*]，所以f’(x)＜0(－1＜x＜﹢∞)， 由定理：设f(x)在区间(a，b)内连续且可导，导数f’(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为严格单调减少．故f(x)在区间(－1，﹢∞)内严格单调减少．
解析
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考研数学二

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