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(Ⅰ)设f(x),g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0,f′(x0)g′(x0)<0,求证:x=x0是f(x)g(x)的极大值点. (Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞,+∞))的值域区间
(Ⅰ)设f(x),g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0,f′(x0)g′(x0)<0,求证:x=x0是f(x)g(x)的极大值点. (Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞,+∞))的值域区间
admin
2022-04-08
59
问题
(Ⅰ)设f(x),g(x)在点x=x
0
处可导且f(x
0
)=g(x
0
)=0,f′(x
0
)g′(x
0
)<0,求证:x=x
0
是f(x)g(x)的极大值点.
(Ⅱ)求函数F(x)=
(x∈(—∞,+∞))的值域区间
选项
答案
(Ⅰ)由于[*]=f′(x
0
)g(x
0
)+f(x
0
)g′(x
0
)=0,因此x=x
0
是f(x)g(x)的驻点,进一步证明是它的极大值点. 由条件f′(x
0
)g′(x
0
)<0 [*]f′(x
0
)<0,g′(x
0
)>0(或f′(x
0
)>0,g′(x
0
)<0),由 [*] g′(x
0
)=[*] 及极限的保号性质[*]δ>0,当x∈(x
0
—δ,x
0
+δ,x≠x
0
时 [*] [*]x∈(x
0
,x
0
+δ)时 f(x)<0(>0), g(x)>0(<0); x∈(x
0
—δ,x
0
)时 f(x)>0(<0), g(x)<0(>0) x∈(x
0
—δ,x
0
+δ),x≠x
0
时 f(x)g(x)<0=f(x
0
)g(x
0
) x=x
0
是f(x)g(x)的极大值点. (Ⅱ)由题设知F(x)是(—∞,+∞)上连续的偶函数,且由 [*] F(x)在(—∞,0]上[*],在[0,+∞)上[*]. 由于F(0)=0.又 [*] 因此,函数F(x)的值域区间是[0,[*]arctant2).
解析
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考研数学二
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