2. 公务员
  3. 已知两定点，动点P满足，由动点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C。 若线段AB是曲线C的一条动弦，且｜AB｜=2，求坐标原点O到弦AB的距离的最大值。

已知两定点，动点P满足，由动点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C。 若线段AB是曲线C的一条动弦，且｜AB｜=2，求坐标原点O到弦AB的距离的最大值。

admin2017-12-07  2
问题 已知两定点，动点P满足，由动点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C。
若线段AB是曲线C的一条动弦，且｜AB｜=2，求坐标原点O到弦AB的距离的最大值。
选项
答案设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)， 若AB所在的直线斜率不存在，｜AB｜=2，显然线段AB为该椭圆的短轴，此时O在AB上，故距离为0； 若AB所在的直线斜率存在，设其方程为y=kx+h， 与椭圆方程联立[*]消去y得，(2k2+1)x2+4khx+2h2-2=0， ∵该直线与椭圆有两个交点，∴有△＞0，计算可得h2＜2k2+1，② ∴x1+x2=[*] 又∵线段AB为椭圆的弦， ∴｜AB｜=[*]｜x1-x2｜=[*] 代入计算得，h2=[*]，③ 原点O到弦AB的距离d=[*] 所以代入③式并计算得， [*] 当且仅当2k2+1=[*]时成立，即k2=0。此时h2=[*]，代入②式中验证，结果成立， ∴d2≤[*]，即d≤[*]，故原点O到弦AB的距离的最大值为[*]
解析
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