设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T， 3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是_______．

admin2020-03-18 42

问题设A是秩为3的5×4矩阵，α₁，α₂，α₃是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α₁+α₂+2α₃=(2，0，0，0)^T， 3α₁+α₂=(2，4，6，8)^T，则方程组Ax=b的通解是_______．

选项

答案[*]

解析由于秩r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量所构成．
又因为
(α₁+α₂+2α₃)-(3α₁+α₂)=2(α₃-α₁)=(0，-4，-6，-8)^T
是Ax=0的解，即其基础解系可以是(0，2，3，4)^T．由
A(α₁+α₂+2α₃)=Aα₁+Aα₂+2Aα₃=4b，
知

(α₁+α₂+2α₃)是方程组Ax=b的一个解．那么根据方程组解的结构知其通解是

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考研数学三

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