求圆χ2＋y2＝1的一条切线，使此切线与抛物线y＝χ2－2所围面积取最小值，并求此最小值．

admin2016-10-21 33

问题求圆χ²＋y²＝1的一条切线，使此切线与抛物线y＝χ²－2所围面积取最小值，并求此最小值．

选项

答案如图4．5，圆周的参数方程为χ＝cosθ，y＝sinθ．圆周上[*]点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是[*]－cotθ，于是切线方程是 y＝－χcotθ＋[*] 它与y＝χ²－2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程χ²＋χcotθ－2－[*]＝0的根，并且切线与抛物线所围面积为 [*] 为求[*](β－α)³最小值，只要求(β－α)²最小值，由一元二次方程根与系数关系得 [*] 所以，当[*]＋2＝0时取最小值3．由 sinθ＝[*] 因此，所围面积最小值为S_min＝[*] 所求切线有两条：[*]

解析

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