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  3. 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．

admin2020-03-05  14
问题 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．
选项
答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn－r． 设η0为方程组AX=b的一个特解， 令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn－r=ξn－r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn－r为方程组AX=b的一组解． 令k0β0+k1β1+…+kn－rβn－r=0，即 (k0+k1+…+kn－r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0， 上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn－r)b=0， 因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn－r=0，于是 k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0， 注意到ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1=k2=…=kn－r=0， 故β0，β1，β2，…，βn－r线性无关，即方程组AX=b存在由n－r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn－r+2为方程组AX=b的一组线性无关解， 令γ1=β2－β1，γ2=β3－β1，…，γn－r+1=βn－r+2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn－r－1线性无关，又γ1，γ2，…，γn－r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个．
解析
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