2. 考研
  3. 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

admin2019-05-08  53
问题 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。
选项
答案由题设条件知，对任意的x1，x2，…，xn，有 f(x1，x2，…，xn)≥0 其中等号成立当且仅当 [*] 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 [*] 所以，当1+(一1)n+1a1，a2…an≠0时，对于任意的不全为零的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当 a1a2…，an≠(一1)n时，二次型，为正定二次型。
解析 本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意，本题将f正定归结为齐次方程组(*)仅有零解，是求解的关键。本题f是平方和，所以也可以考虑用标准形来作：若矩阵

就可将f化成规范形f=y12+y22+…+yn2。因此，由|A|≠0，就可得a1a2…an≠(一1)n，此时，f正定。
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考研数学三

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