[2011年] 微分方程y＂一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )．

admin2021-01-19 24

问题 [2011年] 微分方程y＂一λ²y=e^λx+e^-λx(λ＞0)的特解形式为( )．

选项 A、a(e^λx+e^-λx)
B、ax(e^λx+e^-λx)
C、x(ae^λx+be^-λx)
D、x²(ae^λx+be^-λx)

答案C

解析先由特征方程求出特征根，由其特征根写出非齐次方程的特解形式，这里右边两项要分别看成两个方程的非齐次项．
由题设条件知，特征方程r²一λ²=0的特征根为r₁=λ，r₂=一λ，于是y＂－λ²y=e^λx
的特解形式为y₁^*=axe^λx．同样y＂一λ²y=e^-λx的特解形式为y₂^*=bxe^-λx，从而由叠加原理即命题1．6．2．4知，原微分方程的特解形式为 y^*=y₁^*+y₂^*=x(ae^λx+be^-λx)，其中a，b为待定系数．仅(C)入选．

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