2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

admin2017-12-31  29
问题 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．
选项
答案∫0xtf(x－t)dt[*]x∫0xf(u)du－∫0xuf(du)＝x∫0xf(t)dt－∫0xtf(t)dt， ∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1可化为∫0xf(t)dt＋x∫0xf(t)dt－ ∫0xtf(t)dt＝x＋1， 两边求导得f(x)＋∫0xf(t)dt＝1， 两边再求导得f’(x)＋f(x)＝0，解得f(x)＝Ce－x， 因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(x)＝e－x．
解析
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考研数学三

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