设曲线L的极坐标万程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．看极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．

admin2019-02-23 21

问题设曲线L的极坐标万程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M₀(2，0)为L上一定点．看极径OM₀，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M₀，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．

选项

答案曲边扇形的面积公式为S=[*]．又弧微分ds=[*]，于是由题设有 [*] (*) 两边对θ求导，即得r²(θ)=[*]．所以r所满足的微分方程为 [*] (它与原方程等价，在(*)式中令θ=0等式自然成立，不必另加条件．) 注意到[*]=±θ+C为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=－π／6，所以曲线L的方程为rsin([*]±θ)=1．

解析

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考研数学二

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设曲线L的极坐标万程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．看极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．

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