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设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线l:y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0,Yp),法线与x轴相交于点(Xp,0),若Xp=Yp,求l上点的坐标(x,y)满足的方程。
设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线l:y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0,Yp),法线与x轴相交于点(Xp,0),若Xp=Yp,求l上点的坐标(x,y)满足的方程。
admin
2018-04-14
104
问题
设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线l:y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0,Y
p
),法线与x轴相交于点(X
p
,0),若X
p
=Y
p
,求l上点的坐标(x,y)满足的方程。
选项
答案
设点P处的切线为Y-y=y’(X-x),则法线为Y-y=-1/y’(X-x)。 令X=0得Y
p
=y-y’x,令Y=0得X
p
=x+yy’。 由Y
p
=X
p
得,y-xy’=x+yy’,即([*]-1。令y/x=u,则 [*] 那么 (u+1)(x[*]+u)=u-1, 即∫[*]du=-∫dx/x,解得1/2ln(u
2
+1)+arctanu=-lnx+C,即 [*] 已知y(1)=0,所以C=0。
解析
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考研数学二
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