2. 考研
  3. 设ξ0=(1，－1，1，－1)T是线性方程组 的一个解向量，试求 (Ⅰ)方程组(*)的全部解； (Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解．

设ξ0=(1，－1，1，－1)T是线性方程组 的一个解向量，试求 (Ⅰ)方程组(*)的全部解； (Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解．

admin2020-07-31  24
问题 设ξ0=(1，－1，1，－1)T是线性方程组

的一个解向量，试求
(Ⅰ)方程组(*)的全部解；
(Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解．
选项
答案(Ⅰ)将ξ0代入方程组，得－λ+μ=0，即λ=μ，代入增广矩阵，并作初等行变换， [*] 当λ≠2时，r(A)=r(A[*]b)=3． Ax=0有基础解系ξ=(－2，1，－1，2)T，Ax=b有特解η=(－1，0，0，1)T， Ax=b的通解为 kξ+η=k(－2，1，－1，2)T+(－1，0，0，1)T =(－2k－1，k，－k，2k+1)T， 其中k是任意常数． 当λ=2时，r(A)=r(A[*]b)=2． Ax=0有基础解系ξ1=(－4，1，0，2)T，ξ2=(－2，0，1，0)T，Ax=b有特解η=(－1，0，0，1)T， Ax=b的通解为 k1ξ1+k2ξ2+η=k1(－4，1，0，2)T+k2(－2，0，1，0)+(－1，0，0，1)T =(－4k1－2k2－1，k1，k2，2k1+1)T， 其中k1，k2是任意常数． (Ⅱ)当λ≠2时，由x2=x3，有k=－k，得k=0．故满足x2=x3的全部解为(－1，0，0，1)T． 当λ=2时，由x2=x3，有k1=k2． 故满足x2=x3的全部解为(－6k1－1，k1，k1，2k1+1)T，其中k1是任意常数．
解析
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考研数学二

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