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  3. 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2017-01-21  52
问题 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
选项
答案二次型xTAx的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）T是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，（1，—1，1）T是与—1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x1，x2，x3）T，则有（x1，x2，x3）[*]=0，（x1，x2，x3）[*] 由方程组 [*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，—1）T。 [*] 因此 xTAx=[*]（x12+ 10x22+ x32+ 16x1x2+ 2x1x3+ 16x2x3） 令[*] 则经正交变换x=Qy，有xTAx=yTAy=3y12—y32。
解析
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考研数学三

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