已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2017-01-21 49

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）^T是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，（1，—1，1）^T是与—1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x₁，x₂，x₃）^T，则有（x₁，x₂，x₃）[*]=0，（x₁，x₂，x₃）[*] 由方程组 [*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，—1）^T。 [*] 因此 x^TAx=[*]（x₁²+ 10x₂²+ x₃²+ 16x₁x₂+ 2x₁x₃+ 16x₂x₃）令[*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TAy=3y₁²—y₃²。

解析

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考研数学三

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

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