设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向光滑曲线,其起点为点(a,b),终点为点(c,d),记 当ab=cd时,求I的值.

admin2022-07-21  67

问题 设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向光滑曲线,其起点为点(a,b),终点为点(c,d),记
   
当ab=cd时,求I的值.

选项

答案方法一 由于积分与路径无关,故可取路径L为由点(a,b)到点(c,b)再到点(c,d)的折线段,所以 [*] 令t=bx,则b∫acf(bx)dx=∫abbcf(t)dt.同理,c∫bdf(cy)dy=∫bccdf(t)dt,于是 [*] 由ab=cd得∫abcdf(t)dt=0,于是[*] 方法二 取积分路径L为上半平面内由点(a,b)到点(c,b)的双曲线xy=ab=cd,则 [*] 方法三 I=∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy+[*],设F(x)为f(x)的一个原函数,则 ∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy=∫Lf(xy)(ydx+xdy) =∫Lf(xy)d(xy)=F(xy)|(a,b)(c,d)=F(cd)-F(ab) 当ab=cd时,∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy=0. [*]

解析
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