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  3. 天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a，其中a和q为常数，q满足0＜q＜1．任取x0，构造选代公式 xn+1=qsinxn+a，n=0，1，2，…． 试证：{xn}收敛，且其极限为开普勒方程的解．

天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a，其中a和q为常数，q满足0＜q＜1．任取x0，构造选代公式 xn+1=qsinxn+a，n=0，1，2，…． 试证：{xn}收敛，且其极限为开普勒方程的解．

admin2022-10-31  36
问题 天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a，其中a和q为常数，q满足0＜q＜1．任取x0，构造选代公式
    xn+1=qsinxn+a，n=0，1，2，…．
    试证：{xn}收敛，且其极限为开普勒方程的解．
选项
答案由选代公式 xn+1=qsinxn+a．n=0，1，2，… 可得 ｜x2-x1｜=q｜sinx1-sinx0｜=[*]≤q｜x1-x0｜； 同理可得 ｜x3-x2｜≤q｜x2-x1｜≤q2｜x1-x0； 由数学归纳法，有 ｜xn+1-xn｜≤q｜xn-xn-1｜≤…≤qn｜x1-x0｜． 由此，对任何p∈N+，又有 ｜xn+p-xn｜≤｜xn+p-xn+p-1｜+…+｜xn+1-xn｜≤(qn+p-1+…+qn)｜x1-x0｜ [*] 因为0＜q＜1，所以[*]．于是对[*]ε＞0，[*]N∈N+．使得当n＞N时，对一切p∈N+，有 ｜xn+p-xn｜≤qn[*]＜ε， 即{xn}满足柯西收敛准则的条件，故存在极限[*]xn=1． 因为｜sinxn-sinl｜≤｜xn-l｜，从而[*]sinxn=sinl．对选代公式xn+1=qsinxn+a两边取n→+∞的极限，得l=sinl+a，即l是开普勒方程的解．
解析
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考研数学一

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