2. 考研
  3. 设{fn}为[0，1]上的连续函数列，满足 fn(x)≤fn+1(x)≤0 (x∈[0，1])，n=1，2，…． 且fn(x)=0，证明{fn}在[0，1]上一致收敛．

设{fn}为[0，1]上的连续函数列，满足 fn(x)≤fn+1(x)≤0 (x∈[0，1])，n=1，2，…． 且fn(x)=0，证明{fn}在[0，1]上一致收敛．

admin2022-11-23  18
问题 设{fn}为[0，1]上的连续函数列，满足
    fn(x)≤fn+1(x)≤0  (x∈[0，1])，n=1，2，…．
    且fn(x)=0，证明{fn}在[0，1]上一致收敛．
选项
答案由[*]fn(x)=0知，对任意的ε＞0，x∈[0，1]，存在N(x)∈N+，有fN(x)(x)＞-ε．又由{fn}为[0，1]上的连续函数列，故存在δ(x)＞0，对任意的t∈U(x；δ(x))，有-ε＜fN(x)(t)≤0．令G={U(x；δ(x)｜x∈[0，1]}，则G是[0，1]的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在U(xk；δ(xk))∈G(k=1，2，…，m)使得[*]U(xk；δ(xk))[*][0，1]．注意到对每一个t∈[0，1]，{fn(t)}为单调递增数列，现令[*]，则对任意的n＞N，t∈[0，1]．存在k∈{1，2，…，m}，有t∈U(xk；δ(xk))，从而 -t＜[*](t)≤fN(t)≤fn(t)≤0． 即{fn}在[0，1]上一致收敛于0．
解析
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考研数学二

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