2. 考研
  3. 设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值．试求： (Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度； (Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数； (Ⅲ)P{X+Y＞1}．

设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值．试求： (Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度； (Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数； (Ⅲ)P{X+Y＞1}．

admin2016-10-26  33
问题 设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值．试求：
(Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度；
(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数；
(Ⅲ)P{X+Y＞1}．
选项
答案(Ⅰ)根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，其概率密度函数为 [*] 而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 [*] 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 [*] (Ⅱ)利用求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度 [*] (Ⅲ)由图3．5可以看出 [*] [*]
解析 欲求密度函数，通常是先求分布函数，这对一维和二维随机变量都是一样的．但是本题所给的是X在(0，1)区间上服从均匀分布，而且条件“当X取到x(0＜x＜1)时，Y等可能地在(x，1)上取值”意味着，在X=x的条件下，Y在(x，1)上服从均匀分布，这相当于给出的是条件概率密度，所以可以直接写出联合概率密度．
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