设f(x)在[a，b]上一阶可导，且｜f’(x)｜≤M，∫abf(x)dx=0，试证：当a≤x≤b时， ∫abf(t)dt｜≤M(b—a)2．

admin2017-10-19 13

问题设f(x)在[a，b]上一阶可导，且｜f’(x)｜≤M，∫_a^bf(x)dx=0，试证：当a≤x≤b时，
∫_a^bf(t)dt｜≤

M(b—a)²．

选项

答案令F(x)=∫_a^xf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，且F(a)=F(b)=0．由最值定理，存在x₀∈[a，b]，使 F(x₀)=[*]｜F(x)｜．若F(x₀)=0，则F(x)≡0，结论自然成立．若F(x₀)≠0，由x₀∈(a，b)可知F(x₀)必是F(x)的极值．于是有F’(x₀)=0，在x₀处由台劳公式可得 [*]

解析

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考研数学三

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