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  3. 已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2014-02-06  33
问题 已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项 A、如果α4不能由α1,α2,α3线性表出，则α1,α2,α3线性相关．
B、如果α1,α2,α3线性相关α1,α2,α3,α4线性相关，那么α1,α2,α3,α4也线性相关．
C、如果α3不能由α1,α2线性表出，α4不能由α2,α3线性表出，则α1可以由α1,α2,α3,α4线性表出．
D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4,，α1+α4,α2+α4,α3+α4,)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．
答案B
解析 例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知B不正确，应选B．关于A：如果α1,α2,α3线性无关，义因α1,α2,α3,α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1,α2,α3线性表出天于C：由已知条件，有(I)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．持r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2,α3,α4)=3，从而r(α1,α2,α3,α4)=3．因此α1可以由α2,α3,α4线性表出．关于D：经初等变换有(α1，α1,α2，α2+α3)→(α1,α2，α2+α3)→(α1,α2,α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4)，从而r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,α4)．因而α4可以由α1,α2,α3线性表出．
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