2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上连续可导，f(χ)在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f〞(η)＝f

设f(χ)在[a，b]上连续可导，f(χ)在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f〞(η)＝f

admin2017-09-15  38
问题 设f(χ)在[a，b]上连续可导，f(χ)在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝f(ξ)；
    (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f〞(η)＝f(η)．
选项
答案(1)令F(χ)＝∫aχf(t)dt，F(a)＝F(b)＝0， 由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F′(c)＝0，即f(c)＝0． 令h(χ)＝e－χf(χ)，h(a)＝h(c)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，c)，使得h′(ξ)＝0， 由h′(χ)＝e－χ[f′(χ)－f(χ)]且e－χ≠0，故f′(ξ)＝f(ξ)． (2)同理，由h(c)＝h(b)＝0，则存在ζ∈(c，b)，使得f′(ζ)＝f(ζ)． 令φ(χ)＝eχ[f′(χ)－f(χ)]，φ(ξ)＝φ(ζ)＝0， 由罗尔定理，存在η∈(ξ，ζ)[*](a，b)，使得φ′(η)＝0， 而φ′(χ)＝eχ[f〞(χ)－f(χ)]且eχ≠0，故f〞(η)＝f(η)．
解析
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考研数学二

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