设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.

admin2018-08-02  38

问题 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.

选项

答案用反证法:若x1+x2是A的属于特征值λ0的特征向量.则有A(x1+x2)=λ0(x1+x2),即Ax1+Ax20x10x2,因Axi=Aλixi(i=1,2),得(λ10)x1+(λ20)x2=0,由于属于不同特征值的特征向量x1与x2线性无关,得λ10=0=λ2,λ0,[*]λ12,这与λ1≠λ2发生矛盾.

解析
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