微分方程y"+y’=x2的特解形式为________.

admin2019-08-11  38

问题 微分方程y"+y’=x2的特解形式为________.

选项

答案y*=x(ax2+bx+c)

解析 先求出对应齐次方程的特征方程的根r1 ,r2 ,再根据方程右端所含的自由项f(x)的形式设出特解y*的形式.
(1)若f(x)=Pm(x)eλx ,则特解y*=xkQm(x) eλx ,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的待定多项式

(2)若f(x)=eλx[Pl(x) cosωx+Pn(x) sinωx],则设特解为
y*=xkeλx[Rm(1)(x) cosωx+Rm(2)(2) (x) sinωx],
其中Rm(1)(x),Rm(2)(x)是m次多项式,m=max{1,n},

对应齐次方程的特征方程为
r2+r=r(r+1)=0,
故r=0为其一特征根,而
f(x)=x2=x2e0x
即f(x)中的指数为0.因指数0为其特征方程的单根,故特解形式为
y*=x(ax2+bx+c),
其中a,b,c为待定的系数.
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