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证明：函数f(x)，x∈D为严格单调函数的充分必要条件是，对任何x1，x2，x3∈D，x1＜x2＜x3，有 [f(x1)-f(x2)][f(x2)-f(x3)]＞0．
证明：函数f(x)，x∈D为严格单调函数的充分必要条件是，对任何x1，x2，x3∈D，x1＜x2＜x3，有 [f(x1)-f(x2)][f(x2)-f(x3)]＞0．
admin
2022-10-31
15
问题
证明：函数f(x)，x∈D为严格单调函数的充分必要条件是，对任何x
1
，x
2
，x
3
∈D，x
1
＜x
2
＜x
3
，有
[f(x
1
)-f(x
2
)][f(x
2
)-f(x
3
)]＞0．
选项
答案
“[*]”不妨设f(x)是严格递增函数，则对[*]x
1
，x
2
，x
3
∈D，x
1
＜x
2
＜x
3
，有 f(x
1
)＜f(x
2
)，f(x
2
)＜f(x
3
)， 故f(x
1
)-f(x
2
)＜0，f(x
2
)-f(x
3
)＜0， 于是有 f(x
1
)-f(x
2
)][f(x
2
)-f(x
1
)]＞0． “[*]”用反证法．假设f不是严格单调的，则[*]a
1
，a
2
∈D，a
1
＜＜a
2
，f(a
1
)≤f(a
2
)，又[*]a
3
，a
4
∈D，a
3
＜a
4
，f(a
3
)≥f(a
4
)．通过讨论可知：在a
1
，a
2
，a
3
，a
4
四点中总可选出三点，记为x
1
．x
2
，x
3
，它们满足x
1
＜x
2
＜x
3
，且 f(x
1
)≤f(x
2
)，f(x
2
)≥f(x
3
)(或f(x
1
)≥f(x
2
)，f(x
2
)≤f(x
3
))， 于是[f(x
1
)-f(x
2
)][f(x
2
)-f(x
1
)]≤0，与题设条件相矛盾．由此可见f为严格单调函数．
解析
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考研数学三
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