2. 考研
  3. 设随机变量 且协方差cov(X，Y)=则X与Y的联合分布为________．

设随机变量 且协方差cov(X，Y)=则X与Y的联合分布为________．

admin2016-12-16  31
问题 设随机变量

且协方差cov(X，Y)=则X与Y的联合分布为________．
选项
答案[*]
解析 由X，Y所服从的分布即知
E(X)=3/4，E(Y)=1/2，且  E(XY)=P(X=1，Y=1)．
今又已知cov(X，Y)=1/8，从而可由
cov(X，Y)=E(X Y)一E(X)E(Y)=1/8
求出    E(XY)=P(X=1，Y=1)=1/2．
有了这个数据，就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布，
由题设易知，E(X)=
又cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=E(XY)一
故E(XY)=
由于XY仅取0与1两个值，
E(XY)=1．P(XY=1)=P(X=1，Y=1)=，
再根据联合分布与边缘分布的关系，即可求出X与Y的联合分布．事实上

由p12+p22=p12+1/2=1/2，得到p12=0．由
p11+p12=p11+0=1/4，即得  p11=1/4．
又由p11+p21=1/4+p21=1/2，得到p21=1/4．
于是得到其联合分布为

注意 大家知道由联合分布可求出边缘分布，但仅由边缘分布求不出联合分布．如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件，如相互独立，或条件分布或某些概率值，则可求出其联合分布．上例就是在给出边缘分布的条件下，还给出了一个概率值P(X一1，Y=1)=E(XY)=1/2．
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考研数学三

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