2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3－2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当χ满足χTχ＝2时，求f的最大值与最小值．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3－2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当χ满足χTχ＝2时，求f的最大值与最小值．

admin2017-11-09  49
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3－2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1．
    (Ⅰ)计算a的值；
    (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形；
    (Ⅲ)当χ满足χTχ＝2时，求f的最大值与最小值．
选项
答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A＝[*]，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)＝2， ｜A｜＝[*]＝(a＋2)(a－1)2＝0， 所以a＝－2，或a＝1，又a＝1时，显然R(A)＝1，故只取a＝－2． (Ⅱ)此时｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)，所以A的特征值是3，－3，0． 当λ1＝3时，解方程组(3E－A)χ＝0，得基础解系为α1＝(1，0，1)T； 当λ2＝－3时，解方程组(－3E－A)χ＝0，得基础解系为α2＝(1，－2，－1)T； 当λ2＝0时，解方程组(0E－A)χ＝0，得基础解系为α3＝(1，1，－1)T． 将α1，α2，α3单位化得 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y12－3y22． (Ⅲ)由于χ＝Qy，可知χTχ＝(Qy)TQy＝yTQTQy＝yTy．因此限制条件χTχ＝2也等价于yTy＝y12＋y22＋y32＝2． 由于二次型为3y12－3y22， 易知其在y12y22y32＝2时，最大值为6，最小值为－6．
解析
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考研数学三

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