设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是【 】

admin2015-09-12  26

问题 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是【    】

选项 A、α12,α23,α3一α1
B、α12,α23,α1+2α23
C、α1+2α2,2α2+3α3,3α31
D、α123,2α1一3α2+22α3,3α1+5α2一5α3

答案C

解析 显然(A)组线性相关(第3个向量是前2个向量的差);(B)组也线性相关(第3个向量是前2个向量的和);对于(C)组,设有一组数x1,x2,x3,使得
    x11+2α2)+x2(2α2+3α3)+x3(3α31)=0

    (x1+x31+(2x1+2x22+(3x2+3x33=0
因为α1,α2,α3线性无关,所以
   
解得此齐次方程组只有零解x1=x2=x3=0,故(C)组线性无关.或直接应用本章的方法,由于矩阵
    的秩为3,知(C)组线性无关,故选(C).
本题是一种常见题型.首先应该运用观察法,而对于不易看出结论的情况,例如,运用这一方法,对于(D)组,由于矩阵
    的秩为2<3((D)组合3个向量),故知(D)组线性相关.
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