设n阶矩阵A与B等价，下列命题错误的是( )．

admin2021-07-27 38

问题设n阶矩阵A与B等价，下列命题错误的是( )．

选项 A、存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B
B、若A与E等价，则B可逆
C、若｜A｜≠0，则存在可逆矩阵P，使得PB=E
D、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0

答案D

解析由于逆矩阵可表示为若干初等矩阵的乘积，因此，PAQ表示对矩阵A进行若干次初等行变换和列变换，所得矩阵B与A等价，故选项(A)正确。矩阵的等价概念有传递性，通过矩阵A的传递，知B与E等价，故B可逆，选项(B)正确。可逆矩阵必与同阶的单位矩阵等价，所以，选项(C)也正确，由排除法，仅选项(D)符合题意，选之。事实上两矩阵等价主要体现在秩的相等关系上，与行列式大小无关。

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