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设矩阵A=已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求 (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
设矩阵A=已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求 (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
admin
2020-05-16
39
问题
设矩阵A=
已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)正交矩阵Q,使Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,AX=β的解不唯一,从而其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同但小于3,对增广矩阵做初等行变换,得 [*] 不难推断出a=-2.因此A=[*] (Ⅱ)下面求A的特征值及特征向量.由|AλE|=0,即[*] 可解出λ
1
=3,λ
2
=-3,λ
3
=0,相应特征向量为[*] 单位化得[*] 令[*]
解析
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考研数学三
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