设n元线性方程组Ax=b，其中（Ⅰ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x0；（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

admin2017-12-29 44

问题设n元线性方程组Ax=b，其中

（Ⅰ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₀；
（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

选项

答案由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D_n=（n+1）aⁿ。（Ⅰ）当a≠0时，D_n≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为 [*]= D_n—1=na^n—1，所以由克拉默法则得x₁=[*] （Ⅱ）当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n—1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x=（0，1，…，0）^T+k（1，0，…，0）^T，其中k为任意常数。

解析

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