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设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.
设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.
admin
2020-11-13
33
问题
设λ≠0是m阶矩阵A
m×n
B
n×m
的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.
选项
答案
根据特征值的定义证明. 设λ是矩阵AB的任一非零特征值,ζ是对应于它的特征向量.即有 ABζ=ζ. ① 用矩阵B左乘上式两边,得(BA)ζ=B(ABζ)=Bλζ=λ(Bζ), 若Bζ≠0,则由特征值定义知,λ为BA的特征值.下面证明Bζ≠0.事实上, 由λ≠0,特征向量ζ≠0,有λζ≠0,再由①式得.ABζ≠0,因此Bζ≠0.
解析
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考研数学三
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