设函数f(x)具有二阶导数,且满足f(x)+f’(π—x)=sinx, f(π/2)=0,求f(x).

admin2016-12-09  31

问题 设函数f(x)具有二阶导数,且满足f(x)+f’(π—x)=sinx,  f(π/2)=0,求f(x).

选项

答案在已知等式两端对x求导,得到 f’(x)一f’’(π—x)=cosx. 令u=π-x,即x=π一u,上述方程化为 f’(π一u)一f’’(u)=cos(π一u)=一cosu, 即 f’(π—x)一f’’(x)=一cosx. ① 又 f(x)+f’(π—x)=sinx, ② 由式①一式②得到 一f’’(x)一f(x)=一cosx—sinx, 即 f’’(x)+f(x)=cosx+sinx. ③ 易求得方程③对应的齐次方程的通解为c1cosx+c2sinx;③的一个特解为[*] 故方程③的通解为[*] 由f(π/2)=0且f(x)+f’(π—x)=sinx易求得f’(π/2)=1,代入求得[*] 于是[*]

解析
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