设f(χ)二阶可导，f(0)＝0，且f〞(χ)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

admin2017-09-15 49

问题设f(χ)二阶可导，f(0)＝0，且f〞(χ)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a＋b)，使得 [*] 两式相减得f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f′(ξ₂)－f′(ξ₁)]a．因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f′(ξ₁)＜f′(ξ₂)，故f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f′(ξ₂)－f′(ξ₁)]a＞0，即 f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

解析

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考研数学二

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