2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)=0，且f(1)=1，证明： (1)存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)=1； (2)存在ζ∈(0，1)，使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。

设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)=0，且f(1)=1，证明： (1)存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)=1； (2)存在ζ∈(0，1)，使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。

admin2021-04-16  49
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)=0，且f(1)=1，证明：
    (1)存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)=1；
    (2)存在ζ∈(0，1)，使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
选项
答案(1)对f(x)在区间[0，1]上应用拉格朗日中值定理，存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)=[f(1)-f(0)]／(1-0)=1。 (2)作辅助函数F(x)=xex[f’(x)-1]，显然F(0)=F(x0)=0，F(x)在(0，1)上可导，且F’(x)=(1+x)ex[f’(x)-1]+xexf”(x)。 根据罗尔定理，存在ζ∈(0，x0)，使得F’(ζ)=0，即ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
解析
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考研数学三

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