(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。 证明:对任何a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

admin2021-01-25  36

问题 (2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。
    证明:对任何a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

选项

答案设F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1),则F(x)在[0,1]上的导数连续,并且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]。 由于x∈[0,1]时,g’(x)≥0,因此g(x)一g(1)≤0,又f’(x)≥0,故F’(x)≤0,即F(x)在[0,1]上单调递减,注意到 F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt—f(1)g(1),=f(t)g(t)|01一f(1)g(1)=0, 故F(1)=0。因此x∈[0,1]时,F(x)≥0,对任何a∈[0,1],都有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

解析
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