已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，则A=( )．

admin2016-12-16 36

问题已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB^一1+C，则A=( )．

选项 A、C(2E一B)
B、

C、B(2B一E)^一1C
D、C(2B一E)^一1B

答案D

解析解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则，将待求矩阵化为因子矩阵．做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(A±B)^一1 ≠A^一1 ±B^一1 ．
由于2A=AB^一1+C，有
2A一AB^一1=C，且  A(2E一B^一1 )=C，
又C可逆，则
A(2E—B^一1 )C^一1=E，
故A可逆，且得
A=[(2E一B^一1 )C^一1 ]^一1=C(2B^一1  B—B^一1 )^一1
=C[B^一1 (2B一E)]^一1=C(2B一E)^一1 B．仅(D)入选．
注意  化简(2E—B^一1 )^一1 时常见下述错误：
(2E一B^一1 )^一1=(2E)^一1一(B^一1 )^一1=

E一B，或 (2E一B^一1 )^一1=2E一B．
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误！

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考研数学三

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