已知双曲线C：．过点(1，1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有[ ]条．

admin2014-11-07 38

问题已知双曲线C：

．过点(1，1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有[ ]条．

选项 A、l
B、2
C、3
D、4

答案D

解析过点(1，1)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)＋1．将y代入C的方程，得
(4一k²)x²＋2(k²一k)x－(k²－2k＋5)＝0． (*)
若k＝±2，方程(*)可分别解出一个x，即有两条符合条件的直线．若k≠±2，(*)式为二次方程，其判别式
△＝4(k²一k)²＋4(4一k²)(k²－2k＋5)－4(－8k＋20)．当

时，△＝0，l与C有一公共点．
综上，共有4条直线满足条件，其中2条分别平行于双曲线的渐近线(k＝±2)，另两条分别与双曲线的右支相切．结合图形不作上述计算也可得到选项(D)．
故选D．

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