已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy。

admin2018-04-14  72

问题 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf"xy(x,y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf"xy(x,y)dxdy=∫01dy∫01xyf"xy(x,y、)dx。 首先考虑∫01xyf"xy(x,y)dx,注意这里是把变量y看做常数的,故有 ∫01xyf"xy(x,y)dx=y∫01xdf’y(x,y)=xyf’y(x,y)|01-∫01yf’y(x,y)dx =yf’y(1,y)-∫01yf’y(x,y)dx。 由f(1,y)=f(x,1)=0易知f’y(1,y)=f’x(x,1)=0。 故 ∫01xyf"xy(x,y)dx=-∫01yf’y(x,y)dx, [*]xyf"xy(x,y)dxdy=∫01dy∫01xyf"xy(x,y)dx=-∫01dy∫01yf’y(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得 -∫01dy∫01yf’y(x,y)dx=-∫01dx∫01yf’y(x,y)dy。 再考虑积分∫01yf’y(x,y)dy,注意这里是把变量x看作常数的,故有 ∫01yf’y(x,y)dy=∫01ydf(x,y)=yf(x,y)|01-∫01f(x,y)dy=-∫01f(x,y)dy。 因此 [*]xyf"xy(x,y)dxdy=-∫01dx∫01代0t,小dxdyyf’y(x,y)dy=∫01dx∫01f(x,y)dy=[*]f(x,y)dxdy=a。

解析
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