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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3。 (I)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关； (Ⅱ)如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。
设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3。 (I)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关； (Ⅱ)如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。
admin
2020-05-16
54
问题
设A为三阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,α
3
，令β=α
1
+α
2
+α
3
。
(I)证明：向量组β，Aβ，A
2
β线性无关；
(Ⅱ)如果A
3
β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。
选项
答案
(I)设k
1
，k
2
，k
3
，是实数，满足k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0，根据已知有Aα
i
=λ
i
α
i
，(i=1，2，3)，所以Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
，A
2
β=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
，将上述结果代入k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0可得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0。 α
1
,α
2
,α
3
是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此[*]由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]，因此k
1
=k
2
=k
3
=0，故β，Aβ，A
2
β线性无关。(H)根据A
3
β=Aβ可得[*] 令P=(β，Aβ，A
2
β)，则矩阵P是可逆的，[*]，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有[*]
解析
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0
考研数学三
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