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设非负可微函数z=f(x,y)由方程2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0确定,求f(x,y)的极值.
设非负可微函数z=f(x,y)由方程2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0确定,求f(x,y)的极值.
admin
2020-10-21
41
问题
设非负可微函数z=f(x,y)由方程2x
2
+2y
2
+z
2
+8xz—z+8=0确定,求f(x,y)的极值.
选项
答案
方程2x
2
+2y
2
+z
2
+8xz—z+8=0两边取全微分,得 4xdx+4ydy+2zdz+8zdx+8xdz—dz=0, 所以 [*] 由二元函数全微分形式不变性,得 [*] 结合2x
2
+2y
2
+z
2
+8xz—z+8=0,得x=一2,y=0,z=1.因此,点(一2,0)是z=f(x,y)的唯一驻点,此时x=1. 求二阶偏导数,得 [*] 在驻点(一2,0)处,A=[*] 而A>0,故f(x,y)在驻点(一2,0)处取得极小值,且极小值为1.
解析
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考研数学二
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