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考研
设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
admin
2017-04-24
37
问题
设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
选项
A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
答案
A
解析
设A按列分块为A=[α
1
α
2
… α
n
],由B≠0知B至少有一列非零,设B的第j列(b
1j
,b
2j
,…,b
nj
)
T
≠0,则AB的第j列为
[α
1
α
2
… α
n
]
即 b
1j
α
1
+b
2j
α
2
+…+b
nj
α
n
=0,因为常数b
1j
,b
2j
,…,b
nj
不全为零,故由上式知A的列向量组线性相关,再由A=0取转置得B
T
A
T
=0,利用已证的结果可知B
T
的列向量组——即B的行向量组线性相关,故(A)正确.
设B按列分块为B=[β
1
β
2
… β
p
],则由
O=AB=A[β
1
β
2
…β
p
]=[Aβ
1
Aβ
2
…Aβ
p
]
得Aβ
j
=0,j=1,2,…,β,即矩阵B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量,因B≠0,知B至少有一列非零,故方程组Ax=0有非零解,因此A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关的推导同解1.
注释 如果将B按行分块为B=
,则AB =0的第i行为[a
i1
a
i2
… a
ln
]
=a
i1
γ
1
+a
i2
γ
1
+…+a
ln
γ
n
=0,由此及A≠0也可推出B的行向量组线性相关.本题所用的关于乘积矩阵的按列(行)表示方法是一种重要方法,在讨论矩阵的秩、线性方程组及向量的有关问题中常常用到.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/jlzRFFFM
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考研数学二
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