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  3. 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

admin2017-04-24  36
问题 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有
选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
答案A
解析 设A按列分块为A=[α1  α2 …  αn]，由B≠0知B至少有一列非零，设B的第j列(b1j，b2j，…，bnj)T≠0，则AB的第j列为
[α1  α2 …  αn]
即    b1jα1+b2jα2+…+bnjαn=0，因为常数b1j，b2j，…，bnj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由A=0取转置得BTAT=0，利用已证的结果可知BT的列向量组——即B的行向量组线性相关，故(A)正确．
设B按列分块为B=[β1  β2 …  βp]，则由
O=AB=A[β1  β2  …βp]=[Aβ1  Aβ2  …Aβp]
得Aβj=0，j=1，2，…，β，即矩阵B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，因B≠0，知B至少有一列非零，故方程组Ax=0有非零解，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关的推导同解1．
注释  如果将B按行分块为B=，则AB =0的第i行为[ai1  ai2  …  aln]=ai1γ1+ai2γ1+…+alnγn=0，由此及A≠0也可推出B的行向量组线性相关．本题所用的关于乘积矩阵的按列(行)表示方法是一种重要方法，在讨论矩阵的秩、线性方程组及向量的有关问题中常常用到．
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考研数学二

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