求y’’-4y’+5y=e2x(sinx+cosx)的通解.

admin2019-03-06  43

问题 求y’’-4y+5y=e2x(sinx+cosx)的通解.

选项

答案原方程对应的齐次方程的特征方程为,r2—4r+5=0,解得r=2±i,所以对应的齐次方程的解为[*]=(C1sinx+C2cosx)e2x,λ±ωi=2±i,是特征方程的根,故设原方程的特解为y=xe2x(Asinx+Bcosx),则 Y=e2x(Asinx+Bcosx)+xe2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx], Y’’=e2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx], 代入原方程得 e2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e2x(Asinx+Bcosx)一4xe2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe2x(Asinx+Bcosx)=e2x(sinx+cosx), 解得[*],故原方程的通解为 y=(C1sinx+C2cosx)e2x+[*](sinx一cosx). 其中C1,C2为任意常数.

解析
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