2. 考研
  3. A，B，X均是3阶矩阵，其中问是否存在X，使得AX—A=BX，若存在，求所有的X，若不存在，说明理由．

A，B，X均是3阶矩阵，其中问是否存在X，使得AX—A=BX，若存在，求所有的X，若不存在，说明理由．

admin2014-04-23  28
问题 A，B，X均是3阶矩阵，其中问是否存在X，使得AX—A=BX，若存在，求所有的X，若不存在，说明理由．
选项
答案由题设条件Ax—A=BX，得(A—B)X=A，(*)其中[*]因[*] 故A－B不可逆．(注意X≠(A－B)-1A)将X与A以列分块，设X=[ξ1，ξ2，ξ3]，A=[α1,α2,α3]，则(*)式为(A—B)[ξ1，ξ2，ξ3]=[α1,α2,α3]，则由(*)式求X，即相当于解方程组(A—B)ξi=αi，i=1，2，3． 将[A－B｜α1,α2,α3]作初等行变换，求解ξ1，ξ2，ξ3． 因[*]则 (A—B)ξl=α1的通解为ξ1=k1(一3，1，5)T+(7，0，一9)T，(A—B)ξ2=α2的通解为ξ2=k2(一3，1，5)T+(5，0，一3)T， (A—B)ξ3=α3的通解为ξ3=k3(一3，1，5)T+(7，0，一7)T，故[*]其中k1，k2，k3是任意常数．
解析
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考研数学一

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