设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (I)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).

admin2019-01-05  29

问题 设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(I)U=XY的概率密度fU(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).

选项

答案根据X与Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出U、V的概率密度. (I)分布函数法.根据题设知(X,Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—7所示) [*] (1)当u≤0时,FU(u)=0;当u≥1时,FU(u)=1; (2)当0<u<1时, [*] (Ⅱ)公式法.设Z=X—Y=X+(一Y).其中X与(一Y)独立,概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫-∞+∞fX(z—y)f-Y(y)dy=∫-10fX(z—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v|,可得 当v≤0时,FV(v)=0;当v>0时,FV(v)=P{一v≤Z≤v}=∫-vvfZ(z)dz; 由此知,当0<v<1时, FV(v)=∫-v0(z+1)dz+∫0v(1一z)dz=2v-v2; 当v≥1时, FV(v)=∫-v-10dz+∫-10(z+1)dz+∫01(1一z)dz+∫1v0dz=1. 综上可得 [*]

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/j4IRFFFM
0

相关试题推荐
最新回复(0)