2. 考研
  3. 设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，f(a)·＜0．证明：在(a．b)内至少有一点ξ，使f’(ξ)=f(ξ)．

设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，f(a)·＜0．证明：在(a．b)内至少有一点ξ，使f’(ξ)=f(ξ)．

admin2022-11-23  10
问题 设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，f(a)·＜0．证明：在(a．b)内至少有一点ξ，使f’(ξ)=f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，则f(b)＞0，[*]．令F(x)=e-xf(x)，则 F(a)=e-af(a)＞0，[*]，F(b)=e-bf(b)＞0 由闭区间上连续函数的介值定理，至少有一点ξ1∈(a，[*])，使F(ξ1)=0；至少存在一点ξ2∈([*]，b)．使F(ξ2)=0．在区间[ξ1，ξ2]上对F(x)使用罗尔定理，则[*]ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使F’(ξ)=0．即e-ξf’(ξ)-e-ξf(ξ)=0，从而f’(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学一

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