2. 考研
  3. 已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

admin2022-03-20  3
问题 已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．
选项
答案设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为 [*] V=[*]πh2b． 又设三角形的面积为S，于是有 [*] 所以 V=[*](P—a)(P—b)(P—c)． 问题化成求V(a，b，c)在条件a+b+c一2p=0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)=ln[*](P一a)(p一b)(p—c)=ln(p一a)+ln(p一b)+ln(p—c)一lnb在条件a+b+c一2p=0下的最大值点． 用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程组 [*] 比较①，③得a=c，再由④得 b=2(p一a)． ⑤ 比较①，②得 b(p一b)=(p一a)p． ⑥ 由⑤，⑥解出 b=[*] 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为[*]的边旋转时，所得立体体积最大．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/io3RFFFM
0

考研数学一

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)