设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；

admin2017-10-21 39

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；

选项

答案因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=B．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则 P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB₁Q．因此P即所求．

解析

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考研数学三

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