2. 考研
  3. [2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2019-05-10  53
问题 [2003年]  已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：ax+2by+3c=0，  l2：bx+2cy+3a=0，  l3：cx+2ay+3b=0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案将几何问题转化为代数问题而证之，归结为证三直线的方程所组成的方程组有唯一解的充要条件是a+b+c=0． 证一 必要性．设l1，l2，l3交于一点，则线性方程组[*]有唯一解，则 秩(A)=秩[*]=2． 因而0=[*] =一6(a+b+c)[*]=一6(a+b+c)[一(b一c)2一(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)[(b—c)2+(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)(b2+c2一2bc+a2一ab一ac+bc) =3(a+b+c)(2b2+2c2一2bc+2a2一2ab一2ac) =3(a+b+c)[(a2+b2一2ab)+(a2+c2一2ac)+(b2+c2一2bc)] =3(a+b+c)[(a—b)2+(a一c)2+(6一c)2]． 因a，b，c至少有两个不同，故(a一b)2+(a一c)2+(b－c)2≠0，从而必有a+b+c=0． 充分性．当a+b+c=0时，下面证l1，l2，l3交于一点，为此证三条直线方程有仅有一个解，于是归结为证明秩(A)=秩([*])=2． 当a+b+c=0时，由必要性的证明知，∣[*]∣=0，因而秩([*])＜3．为证秩(A)=秩([*])=2，只需证A中有一个二阶子式不等于0．因平面直线的方程是二元一次方程，故有a与b不同时为零，否则由ax+2by+3c=0得到c=0．这与方程ax+2by+3c=0为直线方程相矛盾．同理，b与c，c与a也同时不为零，于是有 [*]=2(ac—b2)=2a[(一1)(a+b)]一2b2=一2[a(a+b)+b2] =一2[a2+2·(1／2)ab+(b／2)2+b2一(b／2)2] =一2[(a+b／2)2+3b2／4]≠0． 故秩(A)=2=秩(A)，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学二

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