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  3. 设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2019-07-24  28
问题 设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
选项
答案1
解析 [解题思路]  Aii(i＝1，2，3)为伴随矩阵A*的主对角线上的元素，其和A11＋A22＋A33恰等于A*的迹，即tr(A*)＝A11＋A22＋A33。
    但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出A*的特征值，其求法有两种方法。
    解一  由题设知，A的特征值为λ1＝1，λ2＝1／2，λ3＝1／3，于是｜A｜＝λ1λ2λ3＝1／6，则A*的特征值分别为

则    A11＋A22＋A33＝tr(A*)＝λ1*＋λ2*＋λ3*＝1／6＋1／3＋1／2＝1。
    解二    由AA*＝｜A｜E＝(1／6)E，即(6A)A*＝E，得到
    A*＝(6A)－1＝(1／6)A－1。
由A－1的特征值为1，2，3，得到A*的三个特征值分别为
    λ1*＝(1／6)·1＝1／6，  λ2*＝(1／6)·2＝1／3，  λ3*＝(1／6)·3＝1／2，
故    A11＋A22＋A33＝tr(A*)＝λ1*＋λ2*＋λ3*＝1／6＋1／3＋1／2＝1。
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考研数学一

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